વિધાન -1: દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા n માટે,(n + 1 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) વિધાન $-2$ માટે: ફર્માના લિટલ પ્રમેય મુજબ,કોઈપણ અવિભાજ્ય સંખ્યા $p$ અને પૂર્ણાંક $n$ માટે,$n^p \equiv n \pmod{p}$. અહીં $p = 7$ છે,તેથી $n^7 \equi

Vedclass · Accepted Answer

વિધાન $-1$ સાચું છે,વિધાન $-2$ સાચું છે; વિધાન $-2$ એ વિધાન $-1$ માટે સાચી સમજૂતી છે.

Vedclass · Answer

(D) વિધાન $-2$ માટે: ફર્માના લિટલ પ્રમેય મુજબ,કોઈપણ અવિભાજ્ય સંખ્યા $p$ અને પૂર્ણાંક $n$ માટે,$n^p \equiv n \pmod{p}$. અહીં $p = 7$ છે,તેથી $n^7 \equiv n \pmod{7}$,જેનો અર્થ છે કે $n^7 - n$ એ $7$ વડે વિભાજ્ય છે. આમ,વિધાન $-2$ સાચું છે.વિધાન $-1$ માટે: દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને $(n + 1)^7$ નું વિસ્તરણ કરતા: $(n + 1)^7 = n^7 + 7n^6 + 21n^5 + 35n^4 + 35n^3 + 21n^2 + 7n + 1$. તેથી $(n + 1)^7 - n^7 - 1 = 7n^6 + 21n^5 + 35n^4 + 35n^3 + 21n^2 + 7n = 7(n^6 + 3n^5 + 5n^4 + 5n^3 + 3n^2 + n)$. આ પદ સ્પષ્ટપણે $7$ વડે વિભાજ્ય છે. આમ,વિધાન $-1$ સાચું છે.નોંધો કે વિધાન $-1$ ને $(n+1)^7 - (n+1) - (n^7 - n) = 7k$ તરીકે લખી શકાય છે. કારણ કે $(n+1)^7 - (n+1)$ અને $n^7 - n$ બંને $7$ વડે વિભાજ્ય છે (વિધાન $-2$ મુજબ),તેથી તેમનો તફાવત પણ $7$ વડે વિભાજ્ય છે. તેથી,વિધાન $-2$ એ વિધાન $-1$ માટે સાચી સમજૂતી છે.

Similar Questions

જો $a, b$ અને $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ હોય,તો $a^{2n-1} + b^{2n-1}$ એ કોના વડે વિભાજ્ય છે?

જ્યારે $7^{103}$ ને $23$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે મળતી શેષ કેટલી થાય?

જ્યારે $5^{99}$ ને $13$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે મળતી શેષ કેટલી છે?

જ્યારે $2^{301}$ ને $5$ વડે ભાગવામાં આવે,ત્યારે મળતી ન્યૂનતમ ધન શેષ કેટલી છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module